Островок очевидного в море неизвестного.

11.09.2012

К примеру...
Возможно, нерешаемое аналитически уравнение простого вида x"+x^3=0, является примером задачи, несводимой к принципам, используемым в настоящее время.
Так, сходные по виду задачи x"+0=0, x"+x=0 имеют элементарные хорошо известные решения - x(t)=c*t, x(t)=sin(t). Обе эти задачи отражают фундаментальные свойства нашего (евклидова геометрического) пространства - инвариантность (симметрию) относительно любого сдвига и поворота, естественно и просто понятные нам с детсва. Весь современный мат. и Фурье анализ построен в том числе и на их основе. Геометрическая интерпритация проста - линия и шар, вычисление значений косинуса и синуса возможно только благодаря соотношению между ними (кос. суммы, отсюда - тангес половинного угла и далее - цепная дробь тангенсов - откуда вычисяется син. любого угла), следующему только из геометрии,и ни от куда более.
Простое с виду уравнение x"+x^3=0, допускающее элементарное численное решение, не имет столь простой интерпретации. Геометрическая интерпритация (фигуры на фазовой плоскости) так же совершенно не очевидна. Вполне ясно, что у'=с*x^2, но зависимость x'(y) (чтобы получить x"=(x')'=y'=x^3)не известна и выражается новым классом функций, не сводимым к уже известным (так же, как синус и кос - новый тип функций, самодостаточный в том смысле, что значение функций для произволного аргумента выражается через известные значения их некоторого аргумента, и ни каким иным способом. Причем связ следует только из геометрии, и по сути - аксиоматически). При этом связь новой функции с известной y'=.., по аналогии, видимо может следовать только из геометрии (фигуры на фазовой плоскости...), и должна носить аксиоматический характер. Но аксиоматичность утверждения - это его очевидность для естественной логики мышления, которой в данном случае близко не стояло. В некотором роде, аксиоматические утверждения угадываются сразу и всегда в силу их естественной понятности.
Таким образом, ключевая проблема для решения такого типа уравнений заключается в том, что описываемые ими геометрические объекты лежат несколько в стороне от типичной логики мышления. Возможно, случайно или нет, ключевое аксиоматическое утверждение может быть угадано, но это будет совершенно не естественно. :)